[미적분1] 평균값 정리 서술형 감점 피하기와 조건 없는 문제의 발상법은 무엇일까?

미적분1 : 4. 도함수의 활용 1 - 평균값 정리

핵심 : 평균값 정리 문제는 서술형으로 출제되었을 때는 감점 요인이 되는 필수 전제 조건을 빠뜨리지 않고 완벽하게 서술하는 것, 그리고 객관식 문제로 만났을 때는 시험에 출제된 여러 단원 중에서 평균값 정리를 써야 한다는 발상 자체를 끄집어내는 것입니다.

포인트 : 학생들이 이 유형을 만나면 힘들어하는 이유가 있습니다. 눈으로는 대충 공식을 외운 것 같은데, 막상 서술형 답안지를 쓰려고 하면 무엇을 어디서부터 어디까지 적어야 할지 모르기 때문입니다. 게다가 내신 시험에서는 여러 단원이 무작위로 섞여 나오다 보니, 정작 이 문제를 풀 때 평균값 정리를 써야 한다는 사실조차 떠올리지 못해 손도 못 대는 경우가 많습니다.

예시문제 1

함수 $f(x)=x^3-5x$에 대하여 $f'(c)=4$ 를 만족시키는 실수 ${\ c}$ 가 열린구간 $(0,3)$에 적어도 하나 존재함을 보이려고 한다.

(1) 문제에 적용할 수 있는 정리의 이름과 내용을 서술하시오.

(2) 위 정리를 적용하여 실수 $c$의 값을 구하시오.

학습 내용

예시 문제에서는 '열린구간', '정리'와 같은 단어로 평균값 정리를 떠올릴 수 있습니다. 하지만 본문 끝의 예시문제2에서와 같이 평균값 정리를 생각해낼 힌트가 단 한 글자도 없는 경우가 많습니다.

이번 글에서는 평균값 정리를 감점없이 서술할 수 있는 필수 작성 사항과 평균값 정리를 문제 풀이에 쓰는 발상법에 대해서 공부하겠습니다.

무엇을 모르는 것인가?

문제집의 대표 유형에는 보통 다음과 같이 적혀 있습니다.

평균값 정리에 관한 문제가 적기 때문에 식만 외워 놓으면, 식만 외웠을 뿐이지 활용방법을 잘 모릅니다. 실제 시험에서 문제를 손도 못대거나 틀리고 나서 해설을 봤을 때 '아차'하는 문제이지요. 이런 결과가 나오는 이유는 이해 없이 식만 외웠기 때문입니다.

히즈매쓰 학원에서는?

히즈매쓰학원에서는 평균값 정리를 이해하기 위해 먼저 평균변화율을 살펴보고, 평균값 정리의 기하학적 의미를 구분한 다음 실제 문제에 단계별로 적용합니다.

1. 평균변화율

함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 $a$에서 $b$까지 변할 때의 평균변화율은 $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$이고, 이것은 두 점 $(a, f(a))$, $(b, f(b))$를 지나는 직선의 기울기이다.

2. 평균값 정리

함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때, $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$인 $c$ 가 열린구간 $(a, b)$에서 적어도 하나 존재한다. (※ 평균값 정리의 증명 자체는 생략합니다.)

평균값 정리는 그림에서와 같이 평균변화율 즉, $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$의 값 다시 말해 두 점 $(a, f(a))$, $(b, f(b))$를 지나는 직선의 기울기와 순간변화율 즉, $f'(c)\;(a < c < b)$의 값, 다시 말해 평균변화율과 같은 접선의 기울기가 열린구간 $(a, b)$에서 적어도 하나 존재한다는 의미입니다.

3. 핵심 작성사항

서술형 문제는 채점기준이 있습니다. 그래서 평균값 정리를 쓸 때에는 다음과 같은 단어가 반드시 포함되어야 합니다.

'닫힌구간, 연속'

'열린구간, 미분가능'

평균값 정리 공식 표현

'열린구간, 적어도 하나 존재'

4. 예시문제 1 풀이

(1)

정리의 이름 : 평균값 정리

정리의 내용 : 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때, $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$인 $c$가 열린구간 $(a, b)$에서 적어도 하나 존재한다.

(2)

함수 $f(x)=x^3-5x$는 닫힌구간 $[0,3]$에서 연속이고, 열린구간 $(0,3)$에서 미분가능하므로 평균값정리에 의하여 $\displaystyle \frac{f(3)-f(0)}{3-0} = f'(c)$인 $c$가 열린구간 $(0, 3)$에 적어도 하나 존재한다.

이때 $f'(x)=3x^2-5$이므로 $\displaystyle \frac{f(3)-f(0)}{3-0} = f'(c)$

즉, $\displaystyle \frac{12-0}{3-0} = 3c^2-5$에서 $c^2=3$이고 $c=\sqrt{3}\;(\because 0 < c < 3)$이다.

여기서도 필수 작성 사항은 '닫힌구간 $[0, 3]$, 연속', '열린구간 $(0, 3)$, 미분가능', '$\displaystyle \frac{f(3)-f(0)}{3-0}=f'(c)\;(0 < c < 3)$', '열린구간 $(0,3)$, 적어도 하나 존재', '$c = \sqrt{3}$'이 되겠습니다.

이 문제는 앞에서 설명한 필수 작성 사항과 식을 이용하면 감점 없는 풀이 단계와 같이 명확하게 해결할 수 있습니다.

예시문제 2

미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(3)$의 최댓값은?

문제 풀이

함수 $f(x)$는 모든 실수에서 미분가능하므로 닫힌구간 $[0, 3]$에서 연속이고 열린구간 $(0, 3)$에서 미분가능합니다. 따라서 평균값 정리에 의해 다음을 만족하는 $c$가 열린구간 $(0, 3)$에 적어도 하나 존재합니다.

$$\frac{f(3)-f(0)}{3-0} = f'(c)$$

조건 (가)에서 $f(0)=-2$이므로 이 식은 다음과 같이 정리됩니다.

$$\frac{f(3)-(-2)}{3} = f'(c) \implies f(3) + 2 = 3f'(c)$$

조건 (나)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $|f'(x)| \leq 3$이므로, $c$에 대해서도 $|f'(c)| \leq 3$이 성립합니다. 즉, $-3 \leq f'(c) \leq 3$입니다. 이 식의 각 변에 3을 곱하면 다음과 같습니다.

$$-9 \leq 3f'(c) \leq 9$$

$3f'(c) = f(3) + 2$를 대입하면 다음과 같은 부등식을 얻을 수 있습니다.

$$-9 \leq f(3) + 2 \leq 9$$

각 변에서 $2$를 빼면 $f(3)$의 범위가 다음과 같이 구해집니다.

$$-11 \leq f(3) \leq 7$$

따라서 구하고자 하는 $f(3)$의 최댓값은 $7$이 됩니다.

오늘의 핵심 정리

평균값 정리를 이용하는 서술형 문제에는 반드시 포함되어야 하는 단어와 식이 있음을 배웠습니다.

① 구간과 함수를 확인합니다.

② 닫힌구간 연속, 열린구간 미분가능 조건을 명시합니다.

③ 평균변화율과 미분계수가 같다는 식을 세워 계산합니다.

④ 주어진 범위 안에서 올바른 c값 또는 최댓값을 구합니다.

핵심 사고 순서 : 구간과 함수 확인 $\to$ 닫힌구간 연속, 열린구간 미분가능 $\to$ 평균변화율 계산 $\to$ c값 구하기

시험에서는 예시문제2처럼 평균값 정리를 생각해낼 힌트가 단 한 글자도 없는 경우가 많습니다. 이때 떠올려야 할 것은 '구체적인 함수 식이 없는데 두 지점의 함숫값 정보'와 '미분계수의 범위 조건'이 등장할 때! 즉, 조건이 너무 없다면 평균값 정리의 사용을 한 번쯤 의심해야 할 것입니다.

마무리

힌트가 사라진 문제를 만났을 때 어떤 공식을 써야 할지 머릿속이 복잡해지는 이유. 바로 과정을 이해하지 못했기 때문입니다.

다음에 비슷한 문제를 만난다면, 구체적인 함수 식이 없더라도 당황하지 말고 두 지점의 함숫값 정보와 미분계수의 범위 조건이 주어졌을 때 평균값 정리의 사용을 가장 먼저 의심해 보는 관점을 떠올려 보세요. 외우고 오답을 반복한 수학 학습 오래갈 수 없습니다.