[미적분1] 합성함수의 극한은 어떻게 구할까?

미적분1 :
1. 함수의 극한
- 합성함수의 극한

핵심 : 합성함수의 극한은 단순한 '값'의 추적이 아닙니다. 속함수의 함숫값이 다음 함수로 넘어갈 때 '어느 방향에서 접근하는가(위에서 아래로, 아래에서 위로, 혹은 일정한 상태인가)'를 먼저 판단하고, 이를 새로운 정의역의 좌우극한으로 연결하여 최종 풀이 방향을 잡아야 합니다.

포인트 : 학생들이 이 문제를 어려워하는 이유는 공식이나 개념을 몰라서가 아닙니다. 1차 극한값을 구한 뒤, 그 결과가 '3보다 작은 쪽에서 오는지(3-)', '3보다 큰 쪽에서 오는지(3+)', 혹은 '딱 2라는 상수 상태인지'의 변화 상태(방향성)를 놓치고 단순 숫자로만 다음 함수에 대입하기 때문에 오답이 발생합니다.

예시문제 1

정의역이 \(\{x\mid 0\le x\le 4\}\)인 함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 다음과 같을 때, 다음 식의 값을 구하세요.

$$\displaystyle \lim_{x\to 0+}f(f(x))+\lim_{x\to 2+}f(f(x))$$

[2011년 9월 고3 학력평가 11번]

학습내용

합성함수의 극한을 구하려면 먼저 함수의 극한이 무엇인지 이해해야 합니다.

\(x\)가 특정한 값에 가까워질 때 \(f(x)\)가 어떤 값에 가까워지는지 살펴보는 것이 함수의 극한입니다. 합성함수 \(f(f(x))\)에서는 이 과정을 두 번 거칩니다.

먼저 안쪽 함수 \(f(x)\)의 극한을 구하고, 그 결과를 바깥 함수 \(f\)에 적용해야 합니다. 이때 안쪽 함수의 값이 어느 방향에서 가까워지는지에 따라 바깥 함수의 극한도 달라질 수 있습니다.

따라서 합성함수의 극한에서는 다음 두 가지를 순서대로 확인해야 합니다.

첫째, 안쪽 함수의 극한은 얼마인가?

둘째, 안쪽 함수의 값이 그 극한값에 어느 방향에서 가까워지는가?

무엇을 모르는 것인가?

문제집의 대표 유형에는 보통 다음과 같이 적혀 있습니다.

이렇게 풀이 방법이 정리되어 있으면 학생들은 치환하는 방법만 외워서 문제를 풀기 쉽습니다. 하지만 실제 문제에서는 \(g(x)\)가 어떤 값에 어느 방향으로 접근하는지 스스로 판단해야 합니다.

중요한 것은 치환하는 방법을 외우는 것이 아니라, 왜 안쪽 함수의 극한을 먼저 살펴보고 바깥 함수에 연결해야 하는지 이해하는 것입니다.

히즈매쓰 학원에서는?

히즈매쓰에서는 합성함수의 극한을 이해하기 위해 먼저 극한의 의미를 살펴보고, 우극한과 좌극한을 구분한 다음 실제 합성함수 문제에 적용합니다.

1. 우극한, 좌극한 이해하기

(1) 우극한

\(x\)의 값이 \(a\)보다 크면서 \(a\)에 한없이 가까워지는 것을 기호로 \(x\to a+\)로 나타냅니다. 이때 함수 \(f(x)\)가 일정한 값 \(M\)에 가까워지면

$$\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x)=M$$

으로 나타내고, 이를 \(f(x)\)의 \(x=a\)에서의 우극한이라고 합니다.

(2) 좌극한

\(x\)의 값이 \(a\)보다 작으면서 \(a\)에 한없이 가까워지는 것을 기호로 \(x\to a-\)로 나타냅니다. 이때 함수 \(f(x)\)가 일정한 값 \(L\)에 가까워지면

$$\displaystyle \lim_{x\to a-}f(x)=L$$

로 나타내고, 이를 \(f(x)\)의 \(x=a\)에서의 좌극한이라고 합니다.

(3) 극한값이 존재하는 조건

함수 \(f(x)\)의 \(x=a\)에서의 우극한과 좌극한이 모두 존재하고, 그 값이 같을 때 극한값이 존재합니다.

$$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L\iff\lim_{x\to a+}f(x)=\lim_{x\to a-}f(x)=L$$

2. 합성함수의 극한 구하기

합성함수 \(f(f(x))\)를 구할 때는 안쪽 함수 \(f(x)\)를 먼저 살펴봅니다.

예를 들어 \(x\to a+\)일 때 \(f(x)\to L-\)라면, 안쪽 함수의 결과는 \(L\)보다 작은 값들에서 \(L\)에 가까워진다는 뜻입니다.

이를 합성함수에 적용하면 다음과 같은 순서로 생각할 수 있습니다.

$$\displaystyle x\to a+\quad\Longrightarrow\quad f(x)\to L-$$

이제 바깥 함수에서 \(t\to L-\)일 때의 극한을 확인합니다. 여기서 \(t=f(x)\)로 치환하면 합성함수의 극한을 바깥 함수의 극한으로 바꾸어 생각할 수 있습니다.

$$\displaystyle \lim_{x\to a+}f(f(x))=\lim_{t\to L-}f(t)$$

이 과정에서 중요한 것은 안쪽 함수의 극한값과 접근 방향을 모두 확인하는 것입니다.

3. 예시문제 1 풀이

(1) \(\displaystyle \lim_{x\to 0+}f(f(x))\)

\(x\to 0+\)는 \(x\)가 0보다 크면서 0에 가까이 갈 때, 즉 \(x\)가 0의 오른쪽에서 가까이 갈 때를 의미합니다.

이때 \(f(x)\)의 함숫값은 3에 가까워지는데, 3보다 작습니다.

즉, \(f(x)\)는 3보다 작으면서 3에 가까워집니다.

이를 다시 식으로 표현하면

\(f(x)=t\)라 하면, \(x\to 0+\)일 때 \(t\to 3-\)입니다.

합성함수를 생각하면 \(t\to 3-\)일 때 \(f(t)\)는 3에 가까워집니다.

따라서

$$ \displaystyle \therefore\ \lim_{x\to 0+} f(f(x)) =\lim_{t\to 3-} f(t)=3 \qquad \cdots \text{\textcircled{1}} $$

(2) \(\displaystyle \lim_{x\to 2+}f(f(x))\)

\(x\to 2+\)는 \(x\)가 2보다 크면서 2에 가까이 갈 때, 즉 \(x\)가 2의 오른쪽에서 가까이 갈 때를 의미합니다.

이때 \(f(x)\)의 함숫값은 2입니다.

즉, \(f(x)=2\)인 상수입니다.

이를 다시 식으로 표현하면

\(f(x)=t\)라 하면, \(x\to 2+\)일 때 \(t=2\)입니다.

합성함수를 생각하면 \(f(t)=f(2)\)가 됩니다.

$$ \displaystyle \therefore\ \lim_{x\to 2+} f(f(x)) =f(3)=2 \qquad \cdots \text{\textcircled{2}} $$

따라서 ①, ②에 의하여 정답은

$$ \displaystyle 3+2=5 $$

예시문제 2

다음과 같은 두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)에 대하여 다음 식의 값을 구하세요.

$$\displaystyle \lim_{x\to1-}f(g(x))+\lim_{x\to1-}g(f(x))$$

문제 풀이

이 문제에서도 합성함수의 극한을 구하는 기본 원리는 같습니다. 다만 이번에는 \(f(f(x))\)가 아니라 \(f(g(x))\)와 \(g(f(x))\)가 주어졌다는 차이가 있습니다.

첫 번째 극한에서는 먼저 \(x\to1-\)일 때 \(g(x)\)가 어떤 값에 어느 방향으로 접근하는지 확인합니다. 그 결과를 바깥 함수 \(f\)에 적용하여 극한을 구합니다.

두 번째 극한에서는 먼저 \(x\to1-\)일 때 \(f(x)\)의 극한을 구합니다. 그런 다음 그 결과를 바깥 함수 \(g\)에 적용합니다.

$$ \displaystyle \lim_{x\to 1-}f(g(x)) =\lim_{t\to 1-}f(t)=1 $$

$$ \displaystyle \lim_{x\to 1-}g(f(x)) =g(1)=2 $$

따라서

$$ \displaystyle \lim_{x\to 1-}f(g(x)) +\lim_{x\to 1-}g(f(x)) =1+2=3 $$

두 식은 함수의 적용 순서가 서로 다릅니다. 따라서 첫 번째 식에서 구한 결과를 두 번째 식에 그대로 사용할 수 없으며, 각 안쪽 함수의 극한을 별도로 확인해야 합니다.

오늘의 핵심 정리

합성함수의 극한은 안쪽 함수의 극한을 먼저 구하고, 접근 방향까지 확인한 다음 바깥 함수에 적용합니다.

① 안쪽 함수의 극한값을 구합니다.

② 그 값에 어느 방향에서 접근하는지 확인합니다.

③ 바깥 함수의 그래프에서 해당 방향의 극한을 읽습니다.

④ 두 극한이 주어졌다면 각각 계산한 뒤 문제에서 요구하는 연산을 수행합니다.

핵심 사고 순서: 안쪽 함수의 극한 → 접근 방향 확인 → 바깥 함수의 극한 → 최종 계산

마무리

그림을 보며 설명을 차근차근 따라가다 보니 합성함수의 극한 별로 어렵지 않죠? 합성함수, 치환 이런 것들을 어려워하면 수학을 잘 할 수 없습니다!

합성함수의 극한을 만났을 때는 먼저 안쪽 함수의 극한을 구하고, 그 값에 어느 방향에서 가까워지는지 확인해 보세요.

이 순서를 이해하면 함수의 그래프가 달라져도 같은 사고 과정을 적용할 수 있습니다. 공식을 외우는 데서 멈추지 말고, 왜 안쪽 함수부터 살펴봐야 하는지 이해하는 것이 중요합니다. 외우고 오답을 반복한 수학 학습 오래갈 수 없습니다.