[미적분1] 합성함수의 연속과 불연속, 어떤 값을 먼저 확인해야 할까?

미적분1 :
2. 함수의 연속
- 합성함수의 연속과 불연속

핵심 : 합성함수의 연속성을 판단할 때는 바깥 함수와 안쪽 함수를 따로 살펴보는 것이 중요합니다. 특히 안쪽 함수의 값이 특정한 경계값에 접근할 때, 바깥 함수가 그 입력값에서 어떻게 움직이는지까지 확인해야 합니다.

포인트 : 합성함수 \(f(g(x))\)에서는 \(x\)가 가까워지는 값만 확인해서는 충분하지 않습니다. 먼저 안쪽 함수 \(g(x)\)의 값이 어디로 접근하는지 살펴보고, 그 결과를 바깥 함수 \(f\)에 연결해야 합니다.

예시문제 1

다음과 같이 정의된 함수가 있습니다. $$ f(x)= \begin{cases} -x^2+2 & (x\leq 1)\\ -x^2+4x-3 & (x>1) \end{cases} $$ 함수 \(f(f(x))\)가 불연속인 \(x\)의 값을 구하여라.

학습 내용

합성함수는 한 함수의 결과를 다른 함수의 입력으로 사용하는 함수입니다. 예를 들어 \(f(g(x))\)에서는 먼저 \(g(x)\)의 값을 구한 뒤, 그 값을 \(f\)에 대입합니다. 합성함수의 극한이나 연속성을 판단할 때도 이 순서를 유지해야 합니다.

1. 안쪽 함수의 값이 어느 값으로 접근하는지 확인합니다.

2. 그 접근값을 바깥 함수의 입력으로 생각합니다.

3. 바깥 함수의 함수값과 좌우극한을 비교합니다.

4. 필요한 조건이 모두 충족되는지 판단합니다.

무엇을 모르는 것인가?

문제집의 대표 유형에는 보통 다음과 같이 적혀 있습니다.

그래서 $\displaystyle g(f(x))$ 가 $x=a$ 에서 불연속이면 $\displaystyle f(x)$가 $x=a$ 에서 불연속이거나 $\displaystyle g(x)$ 가 $x=f(a)$ 에서 불연속이다. 이런 결론을 내릴 수 있지요.

무슨 말인지 이해가 되지 않는 학생들은 함수의 입력과 출력이 서로 연결되어 있다는 사실을 놓쳐서 그렇습니다. \(f(g(x))\)에서 \(x\)가 어떤 값에 가까워진다고 해서, 바깥 함수 \(f\)의 입력도 같은 값에 가까워지는 것은 아닙니다. 실제로 바깥 함수에 들어가는 값은 \(g(x)\)입니다.

따라서 안쪽 함수의 극한을 먼저 확인하고, 그 값에서 바깥 함수가 연속인지 또는 좌우에서 어떤 값을 갖는지를 확인해야 합니다.

히즈매쓰 학원에서는?

히즈매쓰학원에서는 합성함수의 연속과 불연속을 이해하기 위해 먼저 함수의 연속이 정의되는 3가지 조건을 살펴보고, 합성함수에서 연속과 불연속이 일어나는 상황을 명확히 구분한 다음 실제 문제에 단계별로 적용합니다.

1. 함수의 연속

연속이 무엇인지 먼저 알아야 합니다. 연속이란 말 그대로 끊어지지 않고 이어져 있는 것입니다. 그런데 이것을 약속으로 하기에는 애매하지요. 그래서 다음과 같은 생각을 하게 됩니다.

끊어져 있는 경우는 언제인가? 다음과 같이 3가지 경우가 있습니다.

1) 함숫값이 존재하지 않는 경우:

$x=a$에서 함숫값 즉, $f(a)$ 값이 존재하지 않습니다.

2) 극한값이 존재하지 않는 경우:

$\displaystyle \lim_{x \to a-} f(x) \neq \lim_{x \to a+} f(x)$ 이므로 $x=a$에서 극한값이 존재하지 않습니다.

3) 함숫값과 극한값이 일치하지 않는 경우:

$\displaystyle \lim_{x \to a-} f(x) = \lim_{x \to a+} f(x)$ 으로 극한값은 존재하는데 $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$ 로 극한값과 함숫값이 일치하지 않습니다.

그래서 이 3가지 경우를 피하면 $x=a$ 에서 연속이 되는 것입니다.

결론은 (극한값) = (함숫값) 즉, $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ 를 만족하면 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 연속이 됩니다.

2. 합성함수의 연속

합성함수의 연속에 대하여 생각해 봅시다. 함수 $f(x)$ 가 $x=a$에서 연속이고, 함수 $g(x)$가 $x=f(a)$에서 연속이면 $\displaystyle \lim_{x \to a} g(f(x)) = g(f(a))$ 가 됩니다. 곧, $x=a$에서 (극한값) = (함숫값)이므로 합성함수 $g(f(x))$는 $x=a$에서 연속이 됩니다.

반대로 생각하면 함수 $f(x)$ 가 $x=a$에서 불연속이거나 함수 $g(x)$가 $x=f(a)$에서 불연속이면 $\displaystyle \lim_{x \to a} g(f(x))$, $g(f(a))$의 값이 존재하지 않거나 $\displaystyle \lim_{x \to a} g(f(x)) \neq g(f(a))$ 가 되므로 합성함수 $g(f(x))$는 $x=a$에서 불연속이 됩니다.

3. 예시문제 1 풀이

먼저 함수 $f(x)$의 불연속을 생각합니다. 함수 $\displaystyle f(x) = \begin{cases} -x^2+2 & (x \le 1) \\ -x^2+4x-3 & (x > 1) \end{cases}$ 에서

$$\left( \lim_{x \to 1-} f(x) = f(1) = 1 \right) $$

$$ \neq \left( \lim_{x \to 1+} f(x) = 0 \right)$$

이므로 $f(x)$는 $x=1$에서만 불연속입니다.

다음 $f(f(x))$의 불연속을 생각합니다. $f(f(x))$에서 함수 $f(x)$ 가 $x=1$에서만 불연속이므로 $f(f(x))$에서 $f(x) = 1$이 되는 $x$를 따져보면 됩니다. 즉 $f(X)$에서 $X=1$에서만 불연속이니 $X=f(x) = 1$이 되는 $x$를 생각하는 것입니다.

$f(x) = 1$이 되는 $x$를 생각하면

$-x^2+2=1 \ (x \le 1)$ 즉, $x^2=1$에서 $x=-1, 1$

$-x^2+4x-3=1 \ (x > 1)$ 즉, $(x-2)^2=0$에서 $x=2$

따라서 $x = -1, 1, 2$에서만 조사하면 되는 것입니다.

$x=-1$에서의 연속성을 조사하면

$$\lim_{x \to -1+} f(f(x)) = \lim_{t \to 1+} f(t) = 0$$

$$\lim_{x \to -1-} f(f(x)) = \lim_{t \to 1-} f(t) = 1$$

이므로 $f(f(x))$는 $x=-1$에서 불연속이다.

$x=1$에서의 연속성을 조사하면

$$\lim_{x \to 1+} f(f(x)) = \lim_{t \to 0+} f(t) = 2$$

$$\lim_{x \to 1-} f(f(x)) = \lim_{t \to 1-} f(t) = 0$$

이므로 $f(f(x))$는 $x=1$에서 불연속이다.

$x=2$에서의 연속성을 조사하면

$$\lim_{x \to 2} f(f(x)) = \lim_{t \to 1-} f(t) = 1$$

$$f(f(2)) = f(1) = 1$$

이므로 $f(f(x))$는 $x=2$에서 연속이다.

따라서 $f(f(x))$는 $x=-1, 1$에서 불연속이다.

어떻습니까? 합성함수이지만 연속이 무엇인지를 생각하여 의심되는 $x$ 값에 대하여 하나씩 따져보니 그리 어렵지 않죠?

예시문제 2

다음과 같은 함수 $y=f(x)$가 있다. 함수 $g(x)=x^2-4x+k$에 대하여 $f(g(x))$가 $x=2$에서 불연속이 되도록하는 $k$의 값을 구하여라.

문제 풀이 :

합성함수 $f(g(x))$가 $x=2$에서 연속인지 불연속인지 조사하기 위해, $x=2$에서의 극한값과 함숫값을 비교해야 합니다.

먼저 속함수 $g(x)$의 $x \to 2$일 때의 움직임을 살펴봅니다. 이차함수 $g(x) = x^2-4x+k = (x-2)^2 + k-4$의 그래프는 $x=2$에서 최솟값 $k-4$를 가집니다. 따라서 $x$가 $2$에 가까워질 때, 우극한과 좌극한 모두 $k-4$보다 큰 위쪽에서 다가오므로 $g(x) \to k-4+$ 라는 우극한 상태가 됩니다.

이를 식으로 나타내면 $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(g(x)) = \lim_{t \to (k-4)+} f(t)$ 가 됩니다.

다음으로 $x=2$에서의 함숫값은 $f(g(2)) = f(k-4)$ 입니다.

문제에서 $x=2$에서 불연속이 되도록 하라고 했으므로, (우극한값) $\neq$ (함숫값)이 되는 지점을 주어진 $y=f(x)$ 그래프에서 찾아야 합니다. 즉, 우극한값과 그 지점의 함숫값이 서로 다른 알맹이($k-4$)의 위치를 알아내는 것입니다.

주어진 $f(x)$ 그래프를 관찰하면 다음과 같은 지점들이 보입니다.

1) $x=1$ 지점: 우극한값은 $3$이고 함숫값은 $3$으로 서로 같습니다. (연속 상태이므로 제외)

2) $x=2$ 지점: 우극한값은 $2$이지만, 까맣게 색칠된 함숫값은 $1$입니다. 우극한과 함숫값이 다르므로 불연속 조건을 만족합니다. 즉, $k-4=2 \implies k=6$

3) $x=3$ 지점: 우극한값은 $2$이지만, 까맣게 색칠된 함숫값은 $1$입니다. 우극한과 함숫값이 다르므로 불연속 조건을 만족합니다. 즉, $k-4=3 \implies k=7$

따라서 합성함수 $f(g(x))$가 $x=2$에서 불연속이 되도록 만드는 $k$의 값은 $6, 7$이 됩니다.

오늘의 핵심 정리

합성함수의 연속과 불연속은 식 전체를 무작정 계산하는 것이 아니라, 연속의 정의에 따라 불연속이 유발될 수 있는 의심점 후보를 먼저 분류한 뒤 단계별로 조사합니다.

① 속함수 자체가 끊어지는 불연속 지점을 먼저 찾습니다.

② 바깥 함수가 불연속이 되도록 만드는 속함수의 함숫값(치역) 지점을 찾습니다.

③ 이렇게 찾아낸 의심점들을 최종 조사할 $x$ 값의 후보로 선정합니다.

④ 선정된 각각의 $x$ 후보들에 대하여 좌우극한과 함숫값을 정확하게 비교하여 연속 여부를 판정합니다.

핵심 사고 순서 : 속함수의 불연속 확인 $\to$ 바깥 함수의 불연속 지점 추적 $\to$ 의심점 후보 선정 $\to$ 후보별 좌우극한 및 함숫값 판별 $\to$ 최종 정답

마무리

어떻습니까? 합성함수이지만 연속이 무엇인지를 생각하여 의심되는 x 값에 대하여 하나씩 따져보니 그리 어렵지 않죠?

합성함수 문제를 만났을 때는 무작정 대입하거나 계산하기보다, 안쪽 함수의 값이 어디로 향하는지부터 확인해야 합니다. 그 값을 바깥 함수에 연결하면 어떤 극한을 비교해야 하는지 분명해집니다. 외우고 오답을 반복한 수학 학습 오래갈 수 없습니다.