[미적분1] 곡선 밖의 점에서 그은 접선, 여러 문자가 섞여 나오면 왜 어려워 할까?

미적분1 : 4. 도함수의 활용 1 - 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식

핵심 : 곡선 밖에 점에서 그은 접선의 방정식 문제는 접점의 좌표를 두는 것이 핵심입니다. 즉, '접점 $(t, f(t))$ $\to$ 접선 $\to$ 곡선 밖 점 대입'의 순서로 접근하는 것이 중요합니다.

포인트 : 학생들이 어려워 하는 이유는 식에 등장하는 문자들을 뭐가 뭔지 모르기 때문입니다. 즉, 접점의 문자 \(t\) 와 곡선의 \(x\), \(y\), 곡선 밖의 점, 이 세가지의 역할을 구분하지 못하면서 헷갈려 하기 때문입니다.

예시문제 1

점 $(0, k)$에서 곡선 $y = -x^2 + 11x$에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 양수 $k$의 값은?

학습내용

곡선 밖 점에서의 접선 문제, 이것도 힘든데 '서로 수직'이라는 조건까지 나와서 무슨 말인지 당최 감이 안 잡힙니다. 특히 많은 학생들이 점 \((0, k)\)를 식에 대입하려고만 하거나, 수직 조건도 생각을 못 해냅니다.

하지만 곡선 밖 점에서의 접선 문제에서 정말 중요한 것은 접점 \((t, f(t))\)를 두는 것부터입니다. 오늘 배울 내용이 바로 이것입니다. "접점에서 시작해 접선을 만들어 낸다."

무엇을 모르는 것인가?

문제집의 대표 유형에는 보통 다음과 같이 적혀 있습니다.

공식을 외웠으니 공식 모양대로 식을 세우려는데 뇌정지가 옵니다. "어? 원래 식에도 \((x, y)\)가 있고, 공식에도 \((x, y)\)가 있고, 접점에는 \(t\)가 있고, 문제에서는 또 \(k\)를 줬는데... 대체 어디에 뭘 넣어야 하지?" 결국 여러 문자들의 역할이 머릿속에서 뒤엉키면서, 손도 못 대고 문제를 포기합니다. 이런 결과가 나오는 이유는 접선을 구하는 일련의 과정을 이해 없이 외웠기 때문입니다.

히즈매쓰 학원에서는?

히즈매쓰학원에서는 곡선 밖에서의 접선을 이해하기 위해 먼저 기울기와 한 점이 주어진 직선의 방정식을 살펴보고, 접점이 주어진 접선의 방정식을 구분한 다음 실제 문제에 단계별로 적용합니다.

1. 기울기와 한 점이 주어진 직선의 방정식

그림과 같이 기울기가 \(m\)이고, 한 점 \((x_1, y_1)\)을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle m = \frac{y-y_1}{x-x_1}$에서 \(y-y_1 = m(x-x_1)\) 입니다.

2. 접점이 주어진 접선의 방정식

함수 \(y=f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식을 구해보면 기울기는 \(x=t\) 인 점에서의 미분계수이므로 \(f'(t)\)가 됩니다. 그리고 한 점이 \((t, f(t))\)가 되므로 $\displaystyle f'(t) = \frac{y-f(t)}{x-t}$ 에서 \(y-f(t) = f'(t)(x-t)\) 가 됩니다.

3. 예시문제 1 풀이

자 그럼 문제를 풀어봅시다. 문제 풀이의 시작은 접점 \((t, f(t))\)를 두는 것입니다.

\(y=-x^2+11x\) 위의 접점은 \(x=t\) 일 때 \(y=-t^2+11t\) 이므로 \((t, -t^2+11t)\)가 됩니다.

기울기는 \(x=t\)일 때의 \(y'\)값이므로

$y' = -2x+11 \implies y'_{x=t} = -2t+11$

따라서 접선의 방정식은 $y - (-t^2+11t) = (-2t+11)(x-t)$ 이며, 정리하면 $y = (-2t+11)(x-t) + (-t^2+11t)$ 가 됩니다.

다음으로 생각할 것은 이 접선이 점 \((0, k)\)를 지난다는 것입니다. 위에서 구한 접선의 방정식에 \((0, k)\)를 대입합니다. 직선에 대입하는 것이므로 \(t\)가 아니고 \(x\)에 \(0\), \(y\)에 \(k\)를 대입합니다.

\(k = (-2t+11)(-t) + (-t^2+11t)\) 이므로 계산하면 \(k = 2t^2 - 11t - t^2 + 11t\) 가 되어 최종적으로 \(k = t^2\) 이 됩니다.

다음으로 생각해야 할 것은, 두 접선이 서로 수직이라고 했으므로 접선이 2개라는 것입니다. 이것의 의미는 접점이 2개라는 것을 알아야 합니다.

\(t^2 = k\)에서 $t = \pm\sqrt{k}$ 이므로 접점은 \((\sqrt{k}, -k+11\sqrt{k})\)와 \((-\sqrt{k}, -k-11\sqrt{k})\)의 2개이므로 접선도 2개가 됩니다.

다음으로는 좌표축에 평행하지 않고 수직인 두 직선의 특징은 두 직선의 기울기의 곱이 \(-1\) 이라는 것입니다.

\(x=t\)에서의 기울기가 \(-2t+11\) 이었으므로 \(t = \pm\sqrt{k}\) 에서의 두 기울기는 \(-2\sqrt{k}+11\), \(-2(-\sqrt{k})+11\) 입니다.

수직이므로 두 기울기의 곱에서

\((-2\sqrt{k}+11) \times (2\sqrt{k}+11) = -1\) 에서 \(11^2 - (2\sqrt{k})^2 = -1\) 이 되므로, \(121 - 4k = -1 \implies 4k = 122\) 가 되어 최종적으로 $\displaystyle k = \frac{122}{4} = \frac{61}{2}$ 이 됩니다.

이 문제는 앞에서 설명한 접점 \((t, f(t))\)를 두는 방법과 수직 조건인 기울기의 곱이 \(-1\)임을 이용하면 위와 같이 명확하게 해결할 수 있습니다.

예시문제 2

점 \((0,2)\)에서 곡선 \(y=x^3-2x\)에 그은 접선이 곡선과 접하는 점을 \(A\), 점 \(A\)가 아닌 곡선과 만나는 점을 \(B\)라 할 때, 선분 \(AB\)의 길이는?

문제 풀이

예시문제 1과 마찬가지로 곡선 밖의 점이 주어졌으므로, 시작은 곡선 위의 임의의 접점 \(A\)의 좌표를 \((t, f(t))\) 즉, \((t, t^3-2t)\)로 두는 것입니다.

곡선을 미분하면 \(y' = 3x^2-2\)이므로, \(x=t\)에서의 접선의 기울기는 \(3t^2-2\)가 됩니다. 이를 이용해 접선의 방정식을 세우면 다음과 같습니다.

\(y - (t^3-2t) = (3t^2-2)(x-t)\) 이며, 이를 정리하면 \(y = (3t^2-2)x - 3t^3 + 2t + t^3 - 2t\) 가 되므로 최종적으로 \(y = (3t^2-2)x - 2t^3\) 이 됩니다.

이 접선이 곡선 밖의 점 \((0, 2)\)를 지나므로 \(x=0\), \(y=2\)를 대입합니다.

\(2 = -2t^3 \implies t^3 = -1 \implies t = -1\)

따라서 접점 \(A\)의 \(x\)좌표는 \(-1\)이며, 이를 곡선 식에 대입하면 \(A\)의 좌표는 \((-1, 1)\)이 됩니다. 또한, 구하는 접선의 방정식은 \(t=-1\)을 대입하여 \(y = x + 2\)가 됩니다.

이번 문제에서는 접점 외에 곡선과 만나는 또 다른 점 \(B\)를 찾아야 하므로 배운 개념을 확장합니다. 접선 \(y = x + 2\)와 원래 곡선 \(y = x^3 - 2x\)의 교점을 구하기 위해 연립합니다.

\(x^3 - 2x = x + 2 \implies x^3 - 3x - 2 = 0\)

이 방정식은 \(x=-1\)에서 접하므로 \((x+1)^2\)을 인수로 가집니다. 조립제법 등으로 인수분해하면 다음과 같습니다.

\((x+1)^2(x-2) = 0\)

따라서 점 \(A\)가 아닌 또 다른 교점 \(B\)의 \(x\)좌표는 \(2\)가 됩니다. 이를 접선 식에 대입하면 점 \(B\)의 좌표는 \((2, 4)\)가 됩니다.

최종적으로 두 점 \(A(-1, 1)\)과 \(B(2, 4)\) 사이의 거리인 선분 \(AB\)의 길이를 구합니다.

\(AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

따라서 정답은 \(3\sqrt{2}\)입니다.

오늘의 핵심 정리

곡선 밖의 한 점에서 그은 접선에 관한 문제는 시작이 접점 \((t, f(t))\)라 두는 것임을 잊으면 안 됩니다.

① 접점의 좌표를 \((t, f(t))\)로 설정합니다.

② 도함수를 이용해 기울기 \(f'(t)\)를 구하고 접선의 방정식을 세웁니다.

③ 직선 위에 곡선 밖의 점이 있음을 이용하여 외부의 점 좌표를 \(x, y\)에 대입합니다.

④ 대입하여 얻은 수식을 풀어 \(t\)값을 구한 뒤 문제에서 요구하는 조건(수직, 추가 교점 등)을 해결합니다.

핵심 사고 순서 : 접점 설정 \(\to\) 접선의 식 유도 \(\to\) 곡선 밖의 점 대입 \(\to\) 미지수 해결 및 조건 적용

마무리

공식만 외우는 공부를 하게 되면 어려운 문제를 만났을 때 어떤 공식을 써야 할지 생각도 못 해낼 뿐더러, 생각해 내더라도 무엇이 무엇인지 헷갈립니다. 결국은 항상 '왜'라는 의문을 갖고 수학 공부를 해야 하는 것입니다.

다음에 비슷한 문제를 만난다면, 무작정 외부 점부터 대입하려 하지 말고 그래프 위의 가상의 '접점'을 먼저 찍고 시작하는 관점을 떠올려 보세요. 외우고 오답을 반복한 수학 학습 오래갈 수 없습니다.