핵심 : 함수와 도함수가 함께 포함된 항등식 조건을 해결할 때는, 무작정 식을 대입하여 전개하기 전에 가장 먼저 다항함수의 차수를 $n$차로 설정하여 양변의 최고차항을 비교함으로써 함수 $f(x)$가 몇 차식인지 결정하는 방향으로 풀이 전략을 세워야 합니다.
포인트 : 학생들이 이 문제를 어려워하는 실제 이유는 문제 해결의 첫 단추인 차수 결정 원리를 모른 채 미정계수를 연립하려 들기 때문입니다. 차수를 먼저 결정하지 못하면 미정계수를 설정하는 단계조차 시작할 수 없어 무너지게 됩니다.
다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(2)$의 값은?
(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $\{f'(x)\}^2 = 12f(x) - 8$
(나) $f'(2) = 8$
함수와 도함수가 함께 나오는 항등식 문제는 처음 보면 조금 복잡해 보이지요. 조건식 (가)에 등장하는 도함수의 제곱과 본래 함수의 결합 형태를 마주하면 대부분의 학생들은 무엇을 해야할 지 갈피를 잡지 못합니다.
하지만 이 문제에서 실제로 중요한 것은 차수를 어떻게 찾느냐를 알면 생각보다 쉽게 풀 수 있음에도, 무작정 대입하려해서 문제를 풀지 못합니다.
결국 이 식은 완전히 새로운 암기 공식이 아니라, 다항함수를 미분할 때 차수가 하나 줄어든다는 가장 기초적인 성질을 이용해 양변의 최고차항을 맞춰 나가는 것입니다. 최고차항을 비교하는 원리를 명확히 안다면 복잡해 보이는 함수 방정식도 생각보다 쉽게 풀 수 있으니, 이번 기회에 항등식 미분 문제에서 다항함수의 차수를 찾아내는 두 가지 방법을 함께 완벽하게 정복해 봅시다.
문제집의 대표 유형에는 보통 다음과 같이 적혀 있습니다.
주어진 조건을 이용하여 f(x), f'(x)를 미정계수로 나타내어 주어진 항등식에 대입하여 미정계수를 결정한다.
그런데 문제가 하나 있습니다. 과연 $f(x)$를 몇 차 다항식으로 놓아야 할까요?
차수를 결정하지 못한다면 미정계수로 나타내는 것조차 시작할 수 없습니다. 따라서 이 유형에서 먼저 알아야 할 것은 미정계수를 구하는 방법이 아니라 $f(x)$의 차수를 결정하는 방법입니다. 요약본의 결과만 외워서는 시작도 할 수 없게 됩니다.
히즈매쓰학원에서는 항등식과 미분을 이해하기 위해 먼저 차수만 비교하여 $n$을 구하는 방법을 살펴보고, 차수만으로 결정할 수 없을 때 최고차항의 계수까지 함께 비교하는 방법을 구분한 다음 실제 문제에 단계별로 적용합니다.
1. 차수 구하기 1
$$ \{f'(x)\}^2 = 12f(x) - 8 $$
주어진 다항식의 차수를 $n$ 이라 하면 미분한 $f'(x)$의 차수는 $n-1$ 이 됩니다.
그래서 좌변의 차수는 $(n-1) \times 2$ 인데, 우변의 차수는 $n$ 이므로
$$ (n-1) \times 2 = n $$
이 식에서 $n = 2$ 를 얻을 수 있습니다.
2. 차수 구하기 2
$f(x)$를 $n$ 차라 두는데 좌, 우변의 차수를 비교하면 같은 경우가 있습니다.
이 경우는 다음과 같이 $f(x)$를 둡니다.
$$ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 $$
(단, $a_n \neq 0$)
이제 좌, 우변의 최고차항을 비교합니다.
좌변은
$$ \{f'(x)\}^2 = (n a_n x^{n-1} + \cdots)^2 $$
$$ = n^2 a_n^2 x^{2n-2} + \cdots $$
우변은
$$ 12f(x) = 12 a_n x^n + \cdots $$
비교하면 $2n-2 = n$ 에서 $n = 2$ 이고
$$ 4 a_n^2 = 12 a_n $$
$$ 4 a_n (a_n - 3) = 0 $$
이 식에서 $a_n = 3$ 을 얻을 수 있습니다.
물론 이상의 차수 구하는 방법은 문제에서 $f(x)$ 가 다항함수라 했기에 가능한 것입니다.
그렇다면 두 방법은 언제 구분해서 사용해야 할까요?
양변의 차수를 비교했을 때 $n$에 대한 식이 만들어진다면 차수만 비교하면 됩니다. 하지만 양변의 차수가 똑같이 $n$으로 나타나 차수만으로는 $n$을 결정할 수 없다면 최고차항의 계수까지 비교해야 합니다.
3. 예시문제 1 풀이
첫 번째 차수를 구한 방법으로 풀어봅니다.
다항식 $f(x)$가 2차식이므로
$$ f(x) = ax^2 + bx + c \ (a \neq 0) $$
이라 두면
좌변은
$$ (2ax + b)^2 = 4a^2 x^2 + 4abx + b^2 $$
우변은
$$ 12(ax^2 + bx + c) - 8 $$
$$ = 12ax^2 + 12bx + 12c - 8 $$
주어진 식이 항등식이므로 계수를 비교하면
$$ 4a^2 = 12a $$
$$ 4a(a-3) = 0 $$
이 식에서 $a \neq 0$ 이므로 $a = 3$ 이 됩니다.
$$ b^2 = 12c - 8 \quad \cdots \text{①} $$
한편, $f'(2) = 8$ 에서
$$ [6x + b]_{x=2} = 12 + b = 8 $$
$$ \therefore b = -4 $$
①에서 $16 = 12c - 8$ 이므로 $c = 2$ 가 됩니다.
따라서 $f(x) = 3x^2 - 4x + 2$ 이므로 $f(2) = 6$ 이 됩니다.
두 번째 차수 구하는 방법으로는 2차항의 계수까지 구했으니 좀 더 빠른 계산이 될 수도 있겠습니다.
이 문제는 앞에서 설명한 차수 구하기 방법을 이용하면 양변의 최고차항 비교와 미정계수 연립과 같이 명확하게 해결할 수 있습니다.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 다음을 만족할 때, $f(2)$의 값은?
(가) $2f(x) = (x+1)f'(x) + 1$
문제 풀이 :
예시문제 1에서 다룬 차수 결정 원리를 확장하여 푸는 응용 문항입니다. 양변의 차수를 먼저 비교해 봅니다.
$f(x)$를 $n$차 다항식이라 하면 좌변의 차수는 $n$차입니다. 우변은 $(x+1)$이라는 1차식에 $(n-1)$차식인 $f'(x)$를 곱한 구조이므로 우변의 차수 역시 $1 + (n-1) = n$차가 됩니다. 즉, 양변의 차수가 똑같이 $n$으로 나타나 차수만으로는 $n$을 결정할 수 없는 구조입니다.
따라서 배운 대로 '두 번째 차수 구하기 방법'을 적용하여 최고차항의 계수까지 함께 비교해야 합니다. $f(x) = a_n x^n + \cdots \ (a_n \neq 0)$ 이라 두면
좌변의 최고차항은 $2 a_n x^n$ 이고, 우변의 최고차항은 $x \times n a_n x^{n-1} = n a_n x^n$ 이 됩니다. 항등식이므로 두 최고차항의 계수가 같아야 합니다.
$$ 2 a_n = n a_n $$
$a_n \neq 0 $ 이므로 $ \ n = 2 $가 됩니다.
다항함수 $f(x)$가 \(2\)차식임을 알아냈으므로 $f(x) = ax^2 + bx + c \ (a \neq 0)$ 라 둡니다. 조건 (나)에서 $f(0) = 0$ 이므로 상수항 $c = 0$ 이 고정됩니다. 즉, $f(x) = ax^2 + bx$ 이고 $f'(x) = 2ax + b$ 입니다.
이 식들을 조건 (가)의 항등식에 대입하여 계수를 비교합니다.
$$ 2(ax^2 + bx) = (x+1)(2ax + b) + 1 $$
$$ 2ax^2 + 2bx $$
$$ = 2ax^2 + (2a+b)x + b + 1 $$
양변의 \(1\)차항과 상수항을 비교하면 다음과 같은 관계식이 만들어집니다.
$$ 2b = 2a + b \implies b = 2a $$
$$ 0 = b + 1 \implies b = -1 $$
두 식을 연립하면 $b = -1$, $a = -0.5$ 를 얻을 수 있습니다. 따라서 완성된 2차함수는 $f(x) = -0.5x^2 - x$ 이며, 구하고자 하는 최종 값은 $f(2) = -2 - 2 = -4$ 가 도출됩니다.
함수와 도함수가 결합한 항등식 문제에서 다항함수를 유도해내는 방법은 다음과 같습니다.
① 다항함수 $f(x)$의 차수를 $n$차로 설정하고 미분했을 때 차수가 $n-1$차가 됨을 인지합니다.
② 주어진 항등식 좌변과 우변의 최고차항 위치를 찾아내어 $n$에 관한 차수 방정식이 성립하는지 먼저 확인합니다.
③ 만약 양변의 차수가 똑같이 $n$으로 표현되어 차수만으로 결정을 지을 수 없다면 최고차항의 계수식까지 연립하여 차수 $n$과 최고차항 계수 $a_n$을 동시에 추적합니다.
④ 결정된 차수에 맞추어 미정계수 식을 세운 뒤 항등식의 계수비교법과 수치대입법을 결합하여 최종 미지수를 계산합니다.
핵심 사고 순서 : 다항식 차수 $n$ 설정 $\to$ 좌우변 최고차항 차수 비교 $\to$ 차수 결정 불가 시 최고차항 계수 연립 $\to$ 미정계수 식 세우기 $\to$ 계수 비교 및 최종 계산 $\to$ 정답
미정계수를 구하는 방법은 문제집에 적혀 있습니다. "왜 이렇게 놓아야 하지?", "차수는 어떻게 결정하지?" 생각할 수 있어야 한다는 것입니다.
다음에 문제집이나 시험지에서 함수와 도함수가 복잡하게 엉켜 있는 항등식 조건을 다시 만난다면, 무작정 끼워 맞추려 하지 말고 "이 다항함수는 도대체 몇 차식인가?"를 먼저 생각해 보세요. 양변의 최고차항을 맞춰 차수부터 스스로 찾아낼 수 있는 순간, 복잡해 보이던 대입 연산이 차근차근 순서대로 풀어지는 놀라운 경험을 하게 될 것입니다. 외우고 오답을 반복한 수학 학습 오래갈 수 없습니다.
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