[미적분1] f(x+y)f(x)+f(y)-nxy 도함수 구하기

미적분1: 3. 미분계수와 도함수 - 항등식이 주어질 때 도함수 구하기

핵심 : 항등식 구조의 함수방정식이 주어지면, 암기된 편법을 쓰기 전에 가장 먼저 도함수의 정의식을 올바르게 세우고, 문제의 식 구조에 맞추어 변수 $y$ 대신 $h$를 대입하여 분자 형태를 변형하는 방향으로 풀이 전략을 잡아야 합니다.

포인트 : 학생들이 이 문제를 어려워하는 실제 이유는 미분의 정의를 제대로 알지 못하기 때문입니다. 정의를 명확히 모른다면 풀이의 첫 단추인 $f(x+h)-f(x)$ 형태를 유도하는 시도조차 하지 못하고 포기하게 됩니다.

예시문제 1

미분가능한 함수 $f(x)$가 다음을 만족한다.

$f'(x)$ 를 구하여라.

학습 내용

조건 (나)에 등장하는 $f(x+y)=f(x)+f(y)-5xy-3$과 같은 복잡한 형태의 관계식을 마주하면, 대부분의 학생들은 어떤 수부터 대입해야 할지 갈피를 잡지 못하고 얼어붙곤 합니다. 내신 시험에 가끔씩 등장할 때마다 시도조차 하지 못하고 포기하는 대표적인 유형이기도 합니다.

하지만 이 문제에서 실제로 중요한 것은 겉보기에 복잡해 보이는 식의 형태에 압도되지 않고, 우리가 이미 알고 있는 '미분의 약속'을 차분히 떠올리는 것입니다. 문제에서 구하라고 한 $f'(x)$, 즉 도함수의 정의식이 어떻게 설계되어 있는지를 먼저 인지해야 합니다.

결국 이 식은 완전히 새로운 외워야 할 공식이 아니라, 도함수의 정의 공식 속에 들어있는 $f(x+h)$라는 분자의 형태를 문제에 주어진 관계식을 이용해 변형해 나가는 구조적인 연결고리를 가지고 있습니다. 미분의 가장 기초가 되는 정의를 제대로 안다면 식을 차근차근 전개하는 것만으로 쉽게 풀 수 있으니, 이번 기회에 도함수의 정의와 함께 이 구조를 꼭 완벽하게 정복해 봅시다.

무엇을 모르는 것인가?

- 문제집의 대표 유형 위에 보통 다음과 같이 적혀 있습니다.

(1) 주어진 식의 $x, y$에 적당한 수를 대입하여 $f(0)$의 값을 구한다.

(2) $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 에서 $f(x+h)$에 주어진 항등식을 대입하여 구한다.

이 요약본만 보고 절차를 기계적으로 외우다 보니, 왜 하필 $y$ 대신 $h$를 대입하는지, 분수 형태의 극한 구조가 어떻게 미분계수 $f'(0)$으로 수렴하게 되는지 원리를 깨닫지 못한 채 계산만 반복하다가 조건이 조금만 바뀌어도 손을 대지 못하게 됩니다.

히즈매쓰 학원에서는?

히즈매쓰학원에서는 함수 방정식에서 도함수 구하는 방법을 이해하기 위해 먼저 도함수의 정의를 살펴보고, 평균변화율과 도함수의 정의식을 구분한 다음 실제 문제에 단계별로 적용합니다.

1. 도함수 정의

1) 평균변화율

함수 $f(x)$에서 $x$부터 $x+\Delta x$까지 변할 때의 평균변화율은

$$ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{x+\Delta x-x} $$

$$ = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$

2) 도함수의 정의

어떤 구간에서 미분가능한 함수 $y = f(x)$에서

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$

$$ = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x) $$

2. 예시문제 1 풀이

정의에 나오는 $f(x+h)-f(x)$와 문제에 나오는 $f(x+y)=f(x)+f(y)-5xy-3$에서 보이나요?

맞습니다! 문제의 $y$ 대신 $h$를 대입할 생각을 해내야 합니다.

$f(x+y)=f(x)+f(y)-5xy-3$에서 $y$대신 $h$를 대입하여 정리하면

$$f(x+h)-f(x)=f(h)-5xh-3 $$입니다.

이것은 도함수의 정의에서 이 새로운 관계식을 이용하라는 뜻입니다.

$$ \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

$$ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-5xh-3}{h} $$

극한값이 존재하려면 분모가 $0$으로 갈 때, 분자가 $0$으로 가야합니다.

분자가 $0$으로 가야 하므로 $f(0)-0-3=0$에서 $f(0)=3$입니다.

이를 이용하여 다시 정리합니다.

$$ \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-5xh-3}{h} $$

$$ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-5xh-f(0)}{h} $$

미분 정의를 다시 떠올립니다.

$$ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \left\{ \frac{f(0+h)-f(0)}{h} - 5x \right\} $$

$$ = f'(0)-5x = -5x+4 $$

※ 물론 주어진 식이 항등식이므로 $x = y = 0$을 대입하면 다음과 같습니다.

$f(0)=f(0)+f(0)-3$에서 $f(0)=3$

이렇게 $f(0)$ 을 구해도 됩니다.

도함수의 정의를 안다면 차근차근 따라가다 보니 어느새 답이 나왔을 것입니다.

이 문제는 앞에서 설명한 도함수의 정의 성질을 이용하면 변수 대입과 미분계수 변형과 같이 명확하게 해결할 수 있습니다.

예시문제 2

도전 : 항상 양의 값을 갖는 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$ 에 대하여 $f(x+y)=5f(x)f(y)$를 만족하고, $f'(0) = 1$일 때 $\displaystyle \frac{f'(2026)}{f(2026)}$의 값은?

문제 풀이 :

예시문제 1과 마찬가지로 우선 도함수의 정의식을 이용해 $f'(x)$의 구조를 유도합니다. 속함수의 식 변형을 위해 주어진 식의 $y$ 대신 $h$를 대입합니다.

$f(x+h) = 5f(x)f(h)$ 이므로, 이 식을 도함수의 정의식 분자에 대입해 봅니다.

$$ \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

$$ = \lim_{h \to 0} \frac{5f(x)f(h)-f(x)}{h} $$

분자에서 공통인수 $f(x)$를 묶어내어 분리하면 다음과 같이 식을 정리할 수 있습니다.

$$ \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)(5f(h)-1)}{h} $$

$$ = f(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{5f(h)-1}{h} $$

이때 극한값이 수렴하기 위해 $h \to 0$일 때 분자도 $0$으로 가야 하므로 $5f(0)-1=0 \implies 5f(0)=1$을 얻습니다. 이를 대입해 분자의 $1$을 $5f(0)$으로 바꿉니다.

$$ \displaystyle f'(x) = f(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{5f(h)-5f(0)}{h} $$

$$ = 5f(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} $$

오른쪽 극한 식은 미분정의에 의해 $f'(0)$이 되므로, 최종 관계식은 $f'(x) = 5f(x) \cdot f'(0)$이 유도됩니다. 조건에서 $f'(0)=1$이므로 $f'(x) = 5f(x)$ 가 성립합니다.

양변을 $f(x)$로 나누어주면 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} = 5$ 가 성립하므로, $x=2026$을 대입한 최종 구하고자 하는 값도 $5$가 됩니다.

오늘의 핵심 정리

함수방정식 항등식 문제에서 도함수를 유도해내는 핵심 원리와 사고 매뉴얼은 다음과 같습니다.

① 도함수의 정의 기본 형태식을 완전하게 먼저 세웁니다.

② 문제에 제시된 항등식 문자의 $y$ 자리에 $h$를 대입하여 $f(x+h)$ 식을 구합니다.

③ 대입하여 얻은 식의 꼴을 도함수 정의식 분자 위치에 집어넣고 공통 구조를 정리합니다.

④ 0분의 0꼴 수렴 조건을 확인하여 $f(0)$ 관계값을 구한 뒤, 식을 미분계수 $f'(0)$ 형태로 변형하여 최종 결과를 도출합니다.

핵심 사고 순서 : 도함수 정의식 장착 $\to$ 변수 $h$ 대입 및 분자 변형 $\to$ 0/0꼴 수렴 조건으로 $f(0)$ 확인 $\to$ $f'(0)$ 결합 및 최종 계산 $\to$ 정답

마무리

문제집이나 시험지에서 $f(x+y)$로 시작하는 복잡한 함수 방정식 조건을 다시 만난다면, 당황해서 편법 공식부터 떠올리려 하지 말고 "도함수의 정의식 $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$의 형태를 어떻게 만들 것인가?"를 먼저 생각해 보세요. $y$ 대신 $h$를 대입하여 분자의 실타래를 차근차근 풀어내겠다는 관점의 변화가 시작되는 순간, 복잡해 보이던 모든 수식이 정의 하나로 완벽하게 꿰어지는 경험을 하게 될 것입니다.

외우고 오답을 반복한 수학 학습 오래갈 수 없습니다.