[미적분1] 미분 가능 조건, 그래프가 뾰족하면 왜 미분이 불가능할까?

미적분1 : 3. 미분계수와 도함수 - 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성

핵심 : 구간별로 다르게 정의된 함수의 미분가능성을 판단할 때는, 가장 먼저 경계 지점에서의 연속성(함숫값=극한값)을 확인하여 0/0꼴 수렴 기반을 다진 후, 좌미분계수와 우미분계수의 값이 정확히 일치하는지 단계적으로 연결하여 최종 풀이 방향을 잡아야 합니다.

포인트 : 학생들이 이 문제를 어려워하는 실제 이유는 미분 가능성의 본질을 모른 채 공식화된 스킬로만 외우고 있기 때문입니다. 원리를 모른 채 연속 조건과 미분계수 식을 기계적으로 연립하다 보니, 절댓값 기호가 포함되거나 경계면에서 다항함수가 곱해지는 변형 구조를 마주하면 조건의 의미를 해석하지 못해 무너지게 됩니다.

예시문제 1

함수 $f(x) = |x-1|+2$에 대하여 다음 중 옳은 것을 모두 고르면?

학습 내용

미분 가능성 문제는 수능 모의고사에 항상 나오는 주제입니다. 내신에서는 간단히 나오지만 모의고사에서는 준킬러, 킬러로 나오지요. 조건식에 등장하는 절댓값 기호와 구간별 판정 기준을 마주하면 학생들은 문제도 읽지 않고 포기합니다.

하지만 이 문제에서 실제로 중요한 것은 복잡해 보이는 식의 형태에 압도되지 않고, 우리가 이미 잘 알고 있는 '미분의 정의와 약속'을 차분히 생각해내는 것입니다. 대부분의 아이들이 이 유형을 마주했을 때 문제의 본질을 파악하기보다 단순 수식 연립 스킬로만 접근하려 하기에 실력이 제자리에 머물게 됩니다.

결국 이 식은 완전히 새로운 외우기 전용 공식이 아니라, 평균변화율의 극한이라는 미분계수의 정의가 좌측과 우측 경계에서 어떻게 되는지 일치 여부를 파악하면 되는 것입니다. 왜 그런지 원리를 명확히 안다면 복잡한 합답형 보기들도 차근차근 해결해 나갈 수 있으니, 이번 기회에 미분가능조건을 꼭 완벽하게 정복해 봅시다.

무엇을 모르는 것인가?

문제집의 대표 유형에는 보통 다음과 같이 적혀 있습니다.

이렇게 풀이 방법이 요약되어 정리되어 있으면 학생들은 깊이 생각하지 않고 미분한 뒤 단순히 $a$를 대입하는 방법만 외워서 문제를 풀기 쉽습니다. 하지만 실제 문제에서는 왜 연속 조건이 선행되어야만 하는지, 뾰족한 점(첨점)에서는 왜 좌우 미분계수가 어긋나는지 그 이유를 스스로 판단해야 합니다.

중요한 것은 정리된 요약본을 공식처럼 외우는 것이 아니라, 왜 연속성과 미분계수의 좌우 극한을 동시에 만족해야만 미분이 가능한지 그 이유를 이해하는 것입니다.

히즈매쓰 학원에서는?

히즈매쓰학원에서는 미분가능조건을 이해하기 위해 먼저 미분가능성과 연속의 포괄 관계를 벤다이어그램으로 살펴보고, 연속이지만 미분이 불가능한 반례 그래프를 명확히 구분한 다음 실제 문제에 단계별로 적용합니다.

1. 미분가능성과 연속

다음 벤다이어그램부터 이해해야 합니다.

명제를 배운 학생이라면 알겠죠. '미분가능한 함수 $\subset$ 연속인 함수'이므로 함수 $f(x)$가 $x=a$ 에서 미분가능하면 $f(x)$는 $x=a$ 에서 연속입니다.

그렇지만 '함수 $f(x)$가 $x=a$에서 연속이면 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능하다'는 반드시 참은 아닙니다.

1) 미분가능이면 연속 알아보기

연속이 뭔지는 배웠습니다.

함숫값 = 극한값 이것이 연속입니다.

$$ f(a) = \lim_{x \to a} f(x) $$

그럼 미분가능과 함께 알아봅시다.

함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능하면 $ \displaystyle f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 가 존재합니다.

$$ \lim_{x \to a} \{f(x)-f(a)\} $$

$$ = \lim_{x \to a} \left\{ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \times (x-a) \right\} $$

$$ = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \times \lim_{x \to a} (x-a) $$

$$ = f'(a) \times 0 = 0 $$

따라서 $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ 이므로 $x=a$에서 연속입니다.

2) 연속이면 미분가능한지 알아보기

함수 $f(x)=|x|$는 $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ 이므로 $x=0$에서 연속입니다.

그런데

$$ \lim_{x \to 0-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0-} \frac{-x}{x} = -1 $$

이 식은 좌미분계수입니다.

$$ \lim_{x \to 0+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0+} \frac{x}{x} = 1 $$

이 식은 우미분계수입니다.

따라서 $f'(0)$의 값이 존재하지 않으므로 $x=0$에서 미분가능하지 않습니다.

3) 미분 가능 조건

눈치가 빠른 학생은 이미 알아챘을 것입니다. 미분계수도 결국은 극한값입니다. 극한값이 존재하려면 좌극한 우극한이어야 하지요. 즉, 좌미분계수와 우미분계수가 같을 때만 미분가능한 것입니다. 그래서 첨점(뾰족점)에서는 미분불능이라고 배우지요.

물론 연속이 아닌 경우에는 미분을 논할 수가 없습니다. 미분 정의에서 0/0꼴을 만들 때 분자가 0으로 가지 않기 때문에 극한값, 즉 미분계수를 구할 수 없기 때문이지요.

2. 문제 풀이

예시문제 1 풀이

절댓값이 있으므로 범위를 나눕니다.

$$ f(x) = \begin{cases} -(x-1)+2 & (x < 1) \\ (x-1)+2 & (x \ge 1) \end{cases} $$

$$ = \begin{cases} -x+3 & (x < 1) \\ x+1 & (x \ge 1) \end{cases} $$

1) ㄱ 확인

$\displaystyle \lim_{x \to 1-} f(x) = \lim_{x \to 1-} (-x+3) = 2$ 이고,

$\displaystyle \lim_{x \to 1+} f(x) = \lim_{x \to 1+} (x+1) = 2$ 에서 $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 2$ 이고

$f(1)=2$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ 이 성립합니다.

따라서 $f(x)$는 $x=1$에서 연속입니다. (참)

2) ㄴ 확인

$$ \lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{-x+3-2}{x-1} $$

$$ = \lim_{x \to 1-} \frac{-(x-1)}{x-1} = -1 $$

이 성립하고,

$$ \lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{x+1-2}{x-1} $$

$$ = \lim_{x \to 1+} \frac{x-1}{x-1} = 1 $$

이 성립합니다.

따라서 좌미분계수와 우미분계수가 달라 $f'(1)$의 값이 존재하지 않으므로 $x=1$에서 미분가능하지 않습니다. (거짓)

3) ㄷ 확인

$g(x)=(x-1)f(x)$라 하면 식은 다음과 같습니다.

$$ g(x) = \begin{cases} (-x+3)(x-1) & (x < 1) \\ (x+1)(x-1) & (x \ge 1) \end{cases} $$

$\displaystyle \lim_{x \to 1-} g(x) = \lim_{x \to 1-} (-x+3)(x-1) = 0$ 이고,

$\displaystyle \lim_{x \to 1+} g(x) = \lim_{x \to 1+} (x+1)(x-1) = 0$ 이며,

$g(1)=0$이므로 $g(x)$는 $x=1$에서 연속입니다.

이제 미분가능성을 조사하면

$$ \lim_{x \to 1-} \frac{g(x)-g(1)}{x-1} $$

$$ = \lim_{x \to 1-} \frac{(-x+3)(x-1)}{x-1} $$

$$= \lim_{x \to 1-} (-x+3) = 2 $$

이 성립하고,

$$ \lim_{x \to 1+} \frac{g(x)-g(1)}{x-1} $$

$$ = \lim_{x \to 1+} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} $$

$$= \lim_{x \to 1+} (x+1) = 2 $$

이 성립합니다.

따라서 좌미분계수와 우미분계수가 $2$로 일치하므로 $g'(1)=2$ 가 존재합니다.

그러므로 함수 $(x-1)f(x)$는 $x=1$에서 미분가능합니다. (참)

따라서 ㄱ, ㄷ이 참입니다.

이 문제는 앞에서 설명한 미분계수도 결국은 극한값이라는 성질을 이용하면 좌우 미분계수의 일치 판정과 같이 명확하게 해결할 수 있습니다.

예시문제 2

도전 : 두 함수 $f(x)=|x+3|$, $g(x)=2x+a$에 대하여 함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 $a$의 값은? [2021년 고3 10월 #07]

문제 풀이 :

예시문제 1에서 다룬 ㄷ 보기의 성질을 전체 실수 영역으로 확장하여 해결하는 기출 문항입니다.

우선 함수 $f(x)=|x+3|$의 경계점인 $x=-3$을 기준으로 범위를 나누어 함수식을 세웁니다.

$$ f(x)g(x) $$

$$ = \begin{cases} -(x+3)(2x+a) & (x < -3) \\ (x+3)(2x+a) & (x \ge -3) \end{cases} $$

이차함수와 절댓값의 곱이므로 모든 실수에서 연속입니다. 핵심은 뾰족점이 유발되는 경계 지점인 $x=-3$에서의 미분가능성입니다.

$h(x) = f(x)g(x)$라 하고 $h(-3)=0$임을 이용해 정의식에 대입하여 좌우 미분계수를 구합니다.

좌미분계수는 다음과 같습니다.

$$ \lim_{x \to -3-} \frac{h(x)-h(-3)}{x-(-3)} $$

$$= \lim_{x \to -3-} \frac{-x-3}{x+3} \times (2x+a) $$

$$= \lim_{x \to -3-} -(2x+a) = -(-6+a) $$

$$ = 6-a $$

우미분계수는 다음과 같습니다.

$$ \lim_{x \to -3+} \frac{h(x)-h(-3)}{x-(-3)} $$

$$= \lim_{x \to -3+} \frac{x+3}{x+3} \times (2x+a) $$

$$= \lim_{x \to -3+} (2x+a) = -6+a $$

실수 전체에서 미분이 가능하려면 이 경계면에서의 좌우 미분계수가 완벽하게 같아야 하므로 방정식을 세웁니다.

$$ 6-a = -6+a $$

$$ 2a = 12 $$

$$ \therefore a = 6 $$

즉, 뾰족점을 만드는 인수를 가진 미분불능 지점을 일차식 $g(x)$가 근으로 가짐으로써 뾰족함을 부드럽게 완충해주는 구조입니다. 따라서 구하는 만족하는 $a$의 값은 $6$이 됩니다.

오늘의 핵심 정리

구간별 함수의 미분가능성을 판정하는 원리는 다음과 같습니다.

 

① 주어진 경계 지점을 기준으로 함수의 연속성 조건이 만족하여 분모가 0으로 갈 때 분자도 0으로 가는지 확인합니다.

 

② 미분계수의 정의에 따라 좌측 경계식과 우측 경계식의 평균변화율 극한을 각각 구합니다.

 

③ 연산 완료된 좌미분계수의 값과 우미분계수의 값이 서로 일치하는지 방정식을 세웁니다.

 

④ 뾰족점(첨점)을 유발하는 절댓값 인수가 존재할 경우, 곱해지는 다항함수가 그 경계점을 인수로 가짐으로써 미분가능을 보장함을 확인하고 정답을 도출합니다.

 

핵심 사고 순서 : 경계점 연속성 판별 $\to$ 좌우 미분계수 확인 $\to$ 좌우 극한값 일치 조건 연립 $\to$ 첨점 제어 인수의 0점 확인 $\to$ 최종 계산 $\to$ 정답

마무리

오늘은 미분 가능성에 대해서 공부했습니다. 미분계수도 결국은 극한값!

다음에 내신 시험이나 모의고사에서 절댓값 기호가 들어간 복잡한 미분 가능성 문항을 다시 만난다면, 미분 공식부터 무작정 대입하려 하지 말고 "미분계수라는 것도 결국은 좌우 극한이 같아야 하는 극한값의 일종"이라는 본질을 먼저 생각해 보세요. 경계 지점에서 뾰족함이 발생하는 원인을 연속함수가 인수를 통해 어떻게 미분가능으로 만들어 내는지도 살펴보았습니다. 외우고 오답을 반복한 수학 학습 오래갈 수 없습니다.