유형이냐 개념이냐?

유형별 문제풀이와 수학 문제의 변화

Q1. \(9 \times 11 = ?\)

네, 99 입니다.

Q2. \(31 \times 29 = ?\)

계산 되시나요?

중2때 배우는 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) 라는 합차 공식이 있습니다. 이를 이용하면 \(31 \times 29 = (30+1)(30-1)=30^2-1=900-1=899\) 로 계산이 되는 것입니다. 물론 \(9 \times 11=(10-1)(10+1)=10^2-1=100-1=99\) 로 계산되죠. 한 번 더 연습할까요?

Q3. \(102 \times 98 = ?\)

네, \(9996\) 입니다. \((100+2)(100-2)=10000-4=9996\) 과 같이 계산됩니다.

자. 그러면 조금 더 나아가 보겠습니다.

Q4. \((2+1)(4+1)=2^n-1\) 일 때, \(n=?\)

\(n=4\) 라는 답이 나오나요?

\(\begin{aligned}(2+1)(4+1)&=(2-1)(2+1)(2^2+1)\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}=(2^2-1)(2^2+1)=2^4-1\end{aligned}\) 에서 \(n=4\) 입니다.

순차적으로 합차를 적용하는 문제였습니다.
자. 그럼 마지막 문제입니다. 한 번 고민해 보시죠.

Q5. 한 변의 길이가 10인 정사각형이 있습니다. \(x\) 만큼 가로의 길이는 늘이고, 세로의 길이는 줄여서 만든 직사각형의 넓이가 처음 정사각형 넓이보다 4% 줄어들도록 하려면 \(x=?\)

정사각형의 넓이는 100 입니다. 바뀐 직사각형의 넓이는 \((10+x)(10-x)=10^2-x^2\) 입니다. 이것이 4% 줄어든 96 이 되려면 \(x=2\) 가 되어야 하겠습니다. 학창 시절을 떠올리며 고민하시느라 수고하셨습니다.

유형으로 분류하는 공부와 개념으로 이해하는 공부

보통 문제집에서 Q1~3은 ‘곱셈공식을 이용한 수의 계산’, Q4는 연속된 합차 공식 이용’으로 유형 정리가 되어있습니다. 그렇다면 Q5는? 뭐 ‘도형에의 응용’ 정도로 유형화 할 수 있겠죠. 만약 Q6이 새로 나온다면?

수학의 특성상 합차를 이용한 또 다른 문제가 시험에 나올 수 있다는 것입니다. 여러분도 Q1에서 Q5로 넘어오면서 어려워짐을 느끼셨을 겁니다. 다시 말해, 유형으로 공부했는데 어려운 신유형이 늘 출제된다는 것이죠. 이것은 문제를 푸는 양과도 직결이 됩니다. 많은 문제를 풀었는데도, 생소한 1, 2개는 꼭 어려움을 겪게 되는 것이죠. 많이 푼다는 것이 꼭 옳은 것은 아니다라는 것입니다. 유형의 접근이 꼭 나쁜 것만은 아닙니다. 쎈이라는 문제집이 많이 팔리는 이유가 있는 것이죠. 그렇지만 유형적 접근, 많은 문제풀이식 접근은 일정 수준까지만 해당되고 그 이상의 수준은 다른 접근이 필요합니다.

중등 수학에서 고등 수학으로 이어지는 학습 방식

중요한 점은 이런 유형적 접근에 익숙한 초중 수학을 경험한 학생들이 고등에서 탈피가 어렵다는 것입니다. 1등급을 말하는 사람들이 개념의 철저한 이해를 강조하는 이유입니다. 지금 자녀를 한 번 확인해 봅시다. 잘 안 풀리는 문제가 있을 때 어떤 행동을 취하는지. 혹시 비슷한 문제를 책에서 찾고 있지는 않은지 말입니다. 수학을 암기과목 공부하듯이 분류를 하고 있지는 않은지 말입니다.

[내일신문 이태우 원장 기고 2016.5.3 1183호]